2. Найти интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума и схематично построить ее график: y=x^3/3-4x

4. Равнобедренный треугольник описан около прямоугольника с основанием a и высотой h. Основание треугольника совпадает с основанием прямоугольника. При каких размерах треугольника его площадь будет наименьшей.

6. С помощью асимптот построить график функции:

Y=x^2+6x+8/x+5

Ответы:

$y= frac{x^3}{3-4x},$ ОДЗ: $x neq frac{3}{4}$

$y$

$=frac{9x^2-12x^3+4x^3}{(3-4x)^2}=frac{9x^2-8x^3}{(3-4x)^2}=frac{x^2(9-8x)}{(3-4x)^2},$

$y$

$(-infty,0),y$

$(0, frac{3}{4}),y$

$(frac{3}{4},frac{9}{8}),y$

$(frac{9}{8},infty),&lt,0$

При $(-infty, frac{3}{4})$ и $(frac{3}{4},frac{9}{8}]$ функция возрастает

При $[frac{9}{8},infty)$ функция убывает

$x= frac{9}{8}$ точка максимума, $y(frac{9}{8})= frac{(frac{9}{8})^3}{3-4*frac{9}{8}}= frac{frac{729}{512}}{-1,5}=-frac{243}{256}$

$x to frac{3}{4}-0,y to +infty,x to frac{3}{4}+0,y to -infty,$

$x to - infty,y to -infty, x to + infty,y to -infty,$

4 Треугольники МСР и РСВ подобны, $CH=x,MC=x-frac{a}{2},PM=h,$

$frac{MC}{CH} = frac{PM}{BH}, frac{x-frac{a}{2}}{x} = frac{h}{BH}, BH= frac{2hx}{x-a},$

$S_{ABC}= frac{1}{2}AC*BH=frac{1}{2}*2x*frac{2hx}{x-a}= frac{2hx^2}{x-a}$

Рассмотрим функцию $y=frac{2hx^2}{x-a},$

$y$

$=frac{4hx^2-4ahx-2hx^2}{(x-a)^2}=frac{2hx^2-4ahx}{(x-a)^2}=frac{2hx(x-2a)}{(x-a)^2},$

$2hx(x-2a)=0,x=0$ посторонний корень $x=2a$ единств критическая точка

$(frac{a}{2},2a),y$

$x=2a$ точка минимума

$AC=4a,BH= frac{2h*2a}{2a-a}=4h$ при этих размерах треугольника его площадь будет наименьшей.