Докажите, что множество иррациональных чисел не замкнуто относительно сложения.

Ответы:

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где целое число, а  — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Т.к. m2 содержит четное число двоек, а 2n2 нечетное число двоек, равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.