Докажите, что прямоугольник с данной диагональю имеет наибольшую площадь, если он квадрат

Ответы:

Обозначим одну из сторон такого прямоугольника за  Тогда длина второй стороны может быть определена из теоремы Пифагора и будет равна  Тогда его площадь равна  Фактически это функция от переменной  Определим при каком значении эта функция принимает наибольшее значение.Область определения данной функции определяется промежутком . Находим производную.  

В области определения функции производная обращается в ноль в точке            при этом знак производной меняется с плюса на минус. Следовательно, это единственная точка максимума, и максимальное значение данная функция принимает именно в ней. Но прямоугольник с диагональною  и стороной  — это квадрат (следует из теоремы Пифагора). Что и требовалось доказать.