Решите:

x^2-3xy+2y^2=3

Ответы:

$x^2-3xy+2y^2=3\ x^2-3xy+2y^2-3=0\$

нужно как то выразить $y$ , поступим так , решим квадратное уравнение относительно этой переменной

$x^2-3xy+2y^2=3\2y^2-3xy+x^2-3=0\D= sqrt{9x^2-4*2*(x^2-3)} = sqrt{x^2+24}\y=frac{3x+sqrt{x^2+24}}{4} \y=frac{3x-sqrt{x^2+24}}{4}\$

⇒ $y=frac{3x-sqrt{x^2+24}}{4} \$ с выражение ⇒ $sqrt{x^2+24}$ следует то что х должен быть таким что бы само выражение была квадратом какого то числа очевидно подходит x=5, так как выходит что ⇒7^2

тогда у = 2, видно что и x=-5 подходит, тогда y=-2, видно что и x=+- 1 подходит тогда у=+-2

и того ответ (5,2) (-5,-2) (-1,-2) (1,2)

Докажем что больше нет таких чисел целых

$sqrt{x^2+24}=n\ x^2+24=n^2\ n^2-x^2=24\ (n-x)(n+x)=24\$

так как х целое то и n целое,тогда возможны такие варианты только

$left { {{n-x=2} atop {n+x=12}} right. \ left { {{n-x=4} atop {n+x=6}} right. \ left { {{n-x=1} atop {n+x=24}} right.\ left { {{n-x=3} atop {n+x=8}} right.$

с учетом того что первые две системы уже были решены и их ответы уже известны написанные жирным шрифтом, что касается о последних решая их мы не получим целых чисел , соответственно это и будут решения

n-это какое то определенно целое число

x^2-3xy+2y^2=3

x^2-2xy+y^2+y^2-xy=3

(y-x)^2+y(y-x)=3

(y-x)(y-x+y)=3

(y-x)(2y-x)=3

1. y-x=1

2y-x=3

2y-x-y+x=2

y=2

x=1

2. y-x=3

2y-x=1

2y-x-y+x=1-3

y=-2

x=-5

3. y-x=-1

2y-x=-3

2y-x-y+x=-3+1

y=-2

x=-3

4. y-x=-3

2y-x=-1

2y-x-y+x=-1+3

y=2

x=5