В треугольнике АВС медиана-АМ и биссектриса ВК взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Найдите

площать треугольника

Ответы:

Нужно заметить то что треугольник АВM равнобедренный, потому что угол BEM = 90гр , и BE биссектриса, а это возможно в равнобедренном треугольнике ⇒ значит BM=AB ⇒ AE=EM. По свойству биссектрисы

$frac{KC}{AK} = frac{BC}{AB}\BC=2AB\frac{KC}{AK}=2$

так как ВК биссектриса, обозначим $AE=EM=y\BM=AB=MC=x$

тогда $EK=sqrt{x^2-y^2}\S_{EKM}=frac{y*sqrt{x^2-y^2}}{2}=4\ y*sqrt{x^2-y^2}=8\$

и по формуле биссектрисы

$2y=frac{sqrt{2(2x)^2+2x^2-(3x)^2}}{2}=frac{|x|}{2}\4y=x\ y*sqrt{16y^2-y^2}=8\15y^4=64\y=frac{2 sqrt{2}}{sqrt[4]{15}}\x=frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}}\$

Найдем угол ABC

$(frac{4sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2=2(*frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2-2(*frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2*cos2a \cos2a=frac{7}{8}\sin2a=frac{ sqrt{15}}{8}\ S_{ABC}=frac{(frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})(*frac{16sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})}{2}*frac{sqrt{15}}{8}=16$